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 Determiner statistiquement la limite de la péirubanisation

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Wishyourworld

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Determiner statistiquement la limite de la péirubanisation Vide
MessageSujet: Determiner statistiquement la limite de la péirubanisation   Determiner statistiquement la limite de la péirubanisation Icon_minitimeJeu 11 Nov - 19:12

Suite au topic sur la métropolisation de paris, voici une explication plus détaillée moins abrupte pour le modèle de Bussière.

Connu depuis les années 60, en économie urbaine (théorie issue de la NEU nouvelle économie urbaine), le modèle de Bussière, appelé ainsi en France et au Canada est en réalité de fruit d'une recherche simultanée entre deux chercheurs : E.D.Mills (1969) "Urban densities function" et R.Bussière (1972=) "Le modèle de la CRU".
Sans faire un exposé complet sur la NEU, on connait depuis 1951, l'exactitude de la loi dite de Clark sur les densités de population, par la suite confirmé par Muth (1967) qui à ce titre met en relation pour la première fois la densité avec l'offre d'enchère de rente de W.Alonso (1964).
Mills dans son article de 1969 pour la très selecte revue "urban studies" postule à l'exactitude de la formule de Clark et envisage d'en étudier les variations par l'entremise d'un jeu de près de 50 grandes agglomérations de taille diverses dans le mode. Il montre toute la pertinence d'une telle approche.
Remise en question par la suite par BE NEwling (1969) dans un article dans Géographical Review, le modèle de Clark sera substitué par le modèle à cratère de densité ou exponentielle quadratique.

N'étant pas necessairement au fait des nouveautés en la matière, R.Bussière se propose de montrer que le modèle de Clark se présente comme un équilibre certes trivial dans son expression mais non dans dans ses principes de l'évolution de la ville et de son agglomération.
C'est en partant de la maximisation de l'entropie du système urbain que l'auteur parvient à retrouver le modèle de Clark (1951).
Il en conclut que la forme la plus probable pour la densité est une exponentielle négative. En partant de cette base :
D(x) = D*exp(-ax) D densité extrapolée au centre de la ville, a gradient de densité, x distance au centre, D(x) densité de population à une distance x du centre.
il recherche l'expression des populations en fonction de la distance au centre, ce qui serait une autre forme pour le modèle de Clark.

Le principe est le suivant :
Le modèle admis est monocentrique avec CBD central, principe de la NEU.
On cherche donc à exprimer la population pour un périmètre dx infiniment petit
D(x) = p/S p population pour le périmètre, S assimilable au périmètre quand S tend vers 2Pidx

donc p = D(x)*p
soit p = 2*Pi*x*Dexp(-ax)
La population comprise entre le centre et la périphérie est donc l'intégrale de 0 à x soit :
P(x) = 2*Pi*D*intégrale(0,x)[x*exp(-ax)]
=> intégration par partie on a donc comme résulat le modèle suisvant connu sous le nom de modèle de Mills-Bussière
P(x) = (2*Pi*D/a²)*(1-(1+a*x)*exp(-a*x))

Ce modèle a été appliqué à de nombreuses villes avec toujours des résulats excellents. Ce nétait pas sans compter avec le developpement de la périurbanisation, le modèle est alors devenu ineffiscient.
Aussi, A.Bonnafous et E.Tabourin (1998) ont proposé recemment un amendement pour que le modèle réponde correctement en périphérie, chose faite, le modèle s'avère parfaitement stable pour l'ensemble des villes testées. Plus recemment une batterie de test a été réalisée sur la plupart des villes moyennes françaises par P.Y.Peguy (2001). Tous ces nouveaux auteurs sont issus du LET (Laboratoire d'Economie des Transports) :
Le nouveau modèle est alors :
P(x) = (2*Pi*D/a²)*(1-(1+a*x)*exp(-a*x)) + K*x

Les R² obtenus tournent généralement autour de 0.96, 0.99...

Pour arriver enfin à la conclusion de mon porpos initial. Pour déterminer statistiquement la limite de la périurbanisation d'une ville à partir des seules données du recensement pour une date donnée. Il suffit d'appliquer la logique de Bussière amendée (avec le Kx) et d'observer la distance à laquelle on aperçoit l'infléchissement entre le modèle et les données réelles du recensement. cela marque la limite du périurbain.

pour ceux qui voudraient s'y essayer (doctorat ou master II), les données necessaires sont le recensement pour une date donnée, un SIG, même le plus classique.
On porcède alors à de multiples analyses spatiales pour extraire des données communales les données de population cumulée. Exportation dans un tableur ensuite et ajustement du modèle au données réelles de population. Il existe deux méthodes pour cela :
1/ l'ajustement au feeling, pas très scientifique même si le résulat reste correct
2/ l'ajustement dans un autre logiciel type statistica algorithme de minimisation de la somme des résidus au carré (le même principe global qu'une régression linéaire). Plusieurs algorithmes sont envisageables sur le marché gradients conjugués (Newton, quasi Newton et Levenberg Marquart) généralement reposant sur la descente le long des deux dérivées partielles, relativement dur à implémenter sous excel. PB, cet algo pose des pbs de minimum local dès lors que l'on raisonne sur une fonction 3D. Sinon, on peut tout aussi bien postuler à l'algo de recuit simulé qui repose sur la descente par une fonction dite thermique et à partir de sauts statistiques plus ou moins aléatoires contrôlés (ce qui empèche les pbs de minimum locaux). Le pb cet algo, bien plus performant, converge assez tard dans la simulation.

exemple de programmation de recuit simulé le plus interessant appliqué pour le calcul du BRP (modèle pour l'évaluation des temps de parcours à partir du débit et taux d'occupation des véhicules)
Tant que T > Tmin
Pour K itération
• Pas = aléatoire entre 0.00 et PasMax
• Faire varier ki, hi et αi avec le Pas pour obtenir les 26 combinaisons
• Pour les 26 combinaisons (J)
 Cumul[J] = 0
 Pour tous les TP mesuré sur le terrain (I)
 TpCalculé[I] = BRP(ki, hi, αi )
 Ecart[I] = (TPcalculé[I]-TPmesuré[I])²
 Cumul[J] = Cumul[J] + Ecart[I]
• Cumul courant = min(Cumul[ ])
• DeltaF courant = Cumul courant – Cumul precedent
• Si deltaF courant < deltaF précédent
 On garde les valeurs de ki, hi et αi
 DeltaF precedent = DeltaF courant
 Cumul precedent = cumul Courant
Sinon
 Tirer un nombre P aléatoire entre 0.00 et 1.00
 Si P <= Exp( - deltaF courant / T)
 on garde les valeurs de ki, hi et αi
 DeltaF precedent = DeltaF courant
 Cumul precedent = Cumul Courant
 Sinon
 On ne garde pas les valeurs ki, hi et αi
Fin Si deltaF courant
Fin pour K itération
• Diminuer T (avec la fonction linéaire) T = alpha x T
Fin tant que
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